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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales

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¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales</a>

La ecuación diferencial en la que la función desconocida y su derivado incluyen lineal, es decir, el primer grado, llamado una ecuación diferencial lineal de primer orden.

instrucción

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Una vista general de una ecuación diferencial lineal de primer orden es:

y? + P (x) * y = f (x),

donde y - función desconocida, y p (x) y f (x) -algunas funciones especificadas. Ellos son considerados como continua en la zona en la que se desea integrar la ecuación. En particular, pueden ser constantes.

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Si f (x)? 0, entonces la ecuación se llama odnorodnym- si no - entonces, respectivamente, no homogénea.

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La ecuación lineal homogénea puede ser resuelto por separación de variables. Su forma general: Y? + P (x) * Y = 0, por lo tanto:

dy / dx = -p (x) * y, lo que implica que dy / y = -p (x) dx.

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La integración de ambos lados de la ecuación resultante, obtenemos:

? (Dy / y) = -? P (x) dx, es decir, ln (y) = -? P (x) dx + ln (C) o Y = C * e ^ (-? P (x) dx) ).

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Solución de la ecuación lineal no homogénea puede serretirarse de las soluciones de la correspondiente, es decir, la misma ecuación homogénea con el lado derecho de la f caído (x). Para ello, reemplace la constante C en la solución de la función desconocida ecuación homogénea? (X). A continuación, la solución de la ecuación no homogénea será presentado en la forma de:

? Y = (x) * e ^ (-? P (x) dx)).

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Diferenciando esta expresión, vemos que la derivada de y es:

y? = ?? (x) * e ^ (-? P (x) dx) - (X) * p (x) * e ^ (-? P (x) dx).

Sustituyendo las expresiones para Y e Y? en la ecuación original y simplificando se obtiene fácilmente vienen al resultado:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

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Después de integrar ambos lados de ella pone un poco:

? (X) =? (F (x) * e ^ (? P dx) (x)) dx + C1.

Por lo tanto, la función desconocida y se expresa como:

y = e ^ (-? p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

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Si equiparamos la constante C a cero, entonces la expresión para y puede obtener una solución particular de la ecuación dada:

y1 = (e ^ (-? p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

A continuación, una solución completa se puede expresar como:

y = y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).

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En otras palabras, una solución completa de la linealno homogénea ecuación diferencial de primer orden es igual a la suma de su solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación lineal homogénea de la primera orden.

¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales Fue modificada por última vez: 21 de de junio de, 2017 por vashuorm
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